SINTESI delle Matematiche

ALGEBRA

Settore della matematica che ha per oggetto lo studio delle strutture(algebriche) definite su un insieme, attraverso una o più leggi di composizione interna(relazioni).

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Algebra-Elementare

L'algebra elementare è il più semplice tipo di algebra insegnata agli studenti che si presume non abbiano alcuna conoscenza matematica oltre ai principi di base dell'aritmetica. e comprende il Calcolo letterale:
Monomio, Binomio, Trinomio, Polinomio, Prodotti notevoli, Divisione dei polinomi, Divisibilità dei polinomi, Teorema di Ruffini, Regola di Ruffini, Divisibilità di binomi notevoli.

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Algebra-Lineare

L'algebra lineare è la branca della matematica che si occupa dello studio dei vettori, spazi vettoriali (o spazi lineari), trasformazioni lineari e sistemi di equazioni
lineari. Gli spazi vettoriali sono un tema centrale nella matematica moderna; l'algebra lineare è usata ampiamente nell'algebra astratta, nella geometria e nell'analisi
funzionale. L'algebra lineare ha inoltre una rappresentazione concreta nella geometria analitica.

Con l'algebra lineare si studiano completamente tutti i fenomeni fisici "lineari", cioè quelli in cui intuitivamente non entrano in gioco distorsioni, turbolenze e fenomeni caotici in
generale. Anche fenomeni più complessi, non solo della fisica ma anche delle scienze naturali e sociali, possono essere studiati "approssimando il sistema" con un modello
lineare.
Nozioni di Base: Spazio vettoriale, Applicazioni lineari, Basi e dimensione, Prodotto scalare.
Applicazioni:
Sistemi lineari, Geometria analitica, Calcolo differenziale, Analisi funzionale, Meccanica quantistica.
Strumenti: Matrici, Eliminazione di Gauss, Determinante, Autovalori e autovettori, Forma canonica di Jordan, Ortogonalizzazione.
Teoremi: Teorema della dimensione, Teorema di Rouché-Capelli, Relazione di Grassmann, Teorema spettrale.

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Algebra-Universale

L'algebra universale è il settore della matematica che studia le idee comuni a tutte le strutture algebriche. Essa si collega ai vari argomenti della sezione 08-XX dello schema di classificazione MSC2010.

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Algebra-Teoria dei Gruppi

La teoria dei gruppi è la branca della matematica che si occupa dello studio dei gruppi. In astratto, e in breve, un gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da una operazione binaria associativa, dotata di elemento neutro e per la quale ogni elemento della struttura possiede elemento inverso.

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Algebra-Teoria degli Anelli

In matematica, e più precisamente in algebra, la teoria degli anelli è lo studio degli anelli, strutture algebriche dotate delle operazioni di somma e prodotto simili ai numeri interi.

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Algebra-Teoria dei Campi

La teoria dei campi è una branca della matematica che studia le proprietà dei campi. Un campo è un'entità matematica per la quale addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione sono ben definite.

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Algebra-Teoria dei Grafi

In matematica, in informatica e, più in particolare, in geometria combinatoria, i grafi sono oggetti discreti che permettono di schematizzare una grande varietà di situazioni e di processi e spesso di consentirne l'analisi in termini quantitativi e algoritmici.

In termini informali, per grafo si intende una struttura costituita da:
oggetti semplici, detti vertici o nodi,
collegamenti tra i vertici. I collegamenti possono essere: orientati, e in questo caso sono detti archi, e il grafo è detto orientato
non orientati, e in questo caso sono detti spigoli, e il grafo è detto non orientato
eventualmente dati associati a nodi e/o collegamenti

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Algebra-Teoria degli Ordini

La teoria degli ordini è una branca della matematica che studia dei particolari tipi di relazioni binarie, dette ordini e preordini, che inducono sui loro insiemi supporto una struttura che richiama l'idea intuitiva di ordinare gli elementi.
Ordinare in una sequenza più oggetti è un'operazione che facciamo quotidianamente, sia quando organizziamo i nostri impegni giornalieri (dandogli un ordine temporale), o quando decidiamo quale azione compiere rispetto ad un'altra (ordinandole per importanza), o semplicemente quando mettiamo a posto i libri sugli scaffali (ordinandoli per esempio per anno o per autore).
Esempi di questo tipo possiedono tutti delle particolarità comuni:
non esistono elementi distinti "nella stessa posizione"
l'ordine dato è razionale (o transitivo): non ci sono elementi che, in un certo senso, invertono l'ordinamento (per una spiegazione precisa vedi transitività).

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Algebra-Combinatoria

Con il termine combinatoria si intende il settore della matematica che studia insiemi finiti di oggetti semplici (interi, stringhe, nodi e collegamenti, punti e linee, configurazioni discrete, insiemi finiti, ...) che soddisfano proprietà ben definite e tendenzialmente semplici. Esempi di collezioni di oggetti studiate nell'ambito della combinatoria sono:
le permutazioni, le disposizioni e le combinazioni di n oggetti con o senza ripetizione.

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ANALISI MATEMATICA

L'analisi matematica è un ramo della matematica sviluppato sulla base dei concetti del calcolo infinitesimale. Si occupa del complesso dei simboli e delle regole operative su tali simboli per lo studio delle proprietà di un oggetto matematico effettuando una sua scomposizione in parti fino a giungere alle parti infinitesime che lo compongono. L'analisi matematica introduce i concetti di infinito e di limite, ed è proprio lo studio di queste problematiche che ha portato l'analisi matematica da calcolo di elemento ad indagine presente in molti ambiti scientifici (dalle scienze naturali all'ingegneria, dall'informatica all'economia), che spesso sono il presupposto di base per studiare diverse discipline.

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Analisi-Funzioni

Le funzioni hanno un ruolo molto importante in tutte le scienze esatte. Il concetto di dipendenza funzionale tra due grandezze sostituisce infatti, all'interno delle teorie fisiche e matematiche, quello di causa-effetto, che, al contrario del precedente, non riguarda gli enti teorici ma direttamente gli elementi della realtà concreta.
Gli esempi più semplici di funzione sono quelli per cui sia il dominio che il codominio sono insiemi numerici. Per esempio, se a ogni numero naturale associo il doppio di tale numero, ho una funzione, il cui dominio è dato appunto dai naturali, mentre il cui codominio è costituito dai naturali pari.
Tuttavia si parla di funzione anche quando il dominio o il codominio, o entrambi, non sono insiemi di numeri. Se, per esempio, a ogni triangolo del piano associo il cerchio in esso inscritto, ho ugualmente una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio inscritto.
Inoltre spesso si parla di funzioni con più argomenti, o con più valori, per esempio la funzione che alle coordinate x, y, z di un punto nello spazio fa corrispondere temperatura T e pressione P dell'aria. In tal caso, la funzione ha in realtà sempre un solo argomento, che è la terna (x, y, z), e ha sempre un solo valore, che è la coppia (T, P).

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Analisi-Calcolo infinitesimale

Il calcolo infinitesimale è un corpo di conoscenze matematiche che studia il "comportamento locale" di una funzione tramite le nozioni di continuità e di limite.
Le funzioni a cui si applica sono a variabile reale o complessa. Tramite la nozione di limite, il calcolo infinitesimale definisce e studia le nozioni di convergenza di una successione o di una serie, continuità, derivata e integrale. Il calcolo infinitesimale è alla base dell'analisi matematica ed è uno strumento usato in quasi tutti i campi della matematica e della fisica, e della scienza in generale.

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Analisi-Derivata

In matematica il concetto di derivata di una funzione è, insieme a quello di integrale, uno dei cardini dell'analisi matematica e del calcolo infinitesimale.
La funzione derivata si ricava con una serie di operazioni algebriche note come regole di derivazione, applicabili universalmente a tutte le funzioni derivabili.
Un modo semplice per capire cosa sia la derivata è guardare al suo significato geometrico: geometricamente la derivata di una funzione f in un punto x0 è il valore del coefficiente angolare, cioè la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla retta tangente in un punto della curva di equazione y = f(x) e il semiasse positivo delle ascisse.

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Analisi-Integrale

In analisi matematica, l'integrale è un operatore che, nel caso di una funzione a una sola variabile, associa alla funzione l'area sottesa dal suo grafico entro un dato intervallo nel dominio. Si tratta dell'operazione inversa a quella di derivazione.
Il problema originario del calcolo integrale è quello di definire e calcolare l'area della figura che ha per bordi un intervallo chiuso e limitato sull'asse delle ascisse, detto intervallo di integrazione, il grafico di una assegnata funzione, detta funzione integranda, ed i segmenti verticali condotti dagli estremi dell'intervallo di integrazione al grafico della funzione. Il numero reale che esprime tale area viene chiamato integrale della funzione esteso all'intervallo di integrazione.
Se il grafico della funzione è costituito da uno o più segmenti, la figura si può scomporre in rettangoli o trapezi, di cui si conoscono le aree: la somma algebrica di tali aree è l'integrale cercato.
Nel caso generale, questo calcolo può essere eseguito suddividendo la figura in sottili strisce verticali assimilabili a rettangoli: calcolando l'area di ciascun rettangolo e sommando i risultati così ottenuti si può avere un'approssimazione del valore dell'area della figura. Suddividendo in strisce sempre più sottili si ottengano approssimazioni sempre migliori dell'integrale cercato.
A partire da una tale descrizione informale, è possibile costruire un modello rigoroso.

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Analisi-Equazioni differenziali

Le equazioni differenziali sono uno dei più importanti strumenti che l'analisi matematica mette a disposizione nello studio di modelli matematici nei più disparati settori della scienza, dalla fisica all'ingegneria alla biologia all'economia.
Nell'analisi matematica, un'equazione differenziale è una relazione tra una funzione u(x) incognita ed alcune sue derivate.
Nel caso in cui u sia una funzione (u:I->R) definita in un intervallo I dell'insieme dei numeri reali si parla di equazione differenziale ordinaria.

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Analisi-Calcolo delle variazioni

Il calcolo delle variazioni è un campo della matematica che si occupa della ricerca dei punti estremali (massimi e minimi) dei cosiddetti funzionali, ovvero funzioni il cui dominio è a sua volta un insieme di funzioni, e delle loro proprietà.
Tali funzionali possono per esempio essere formulati come integrali che coinvolgono una funzione incognita e le sue derivate.
L'interesse è per le funzioni estremali: quelle cioè che rendono massimo o minimo il valore del funzionale.
Alcuni problemi classici sulle curve erano posti in questa forma: un esempio è la curva brachistocrona, il percorso, da un punto A ad un punto B non allineati verticalmente, lungo il quale una particella sottoposta alla gravità scenderebbe nel minor tempo. Si deve minimizzare quindi la funzione che rappresenta il tempo fra tutte le curve da A a B.

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Analisi armonica

L'analisi armonica è la branca della matematica che studia la rappresentazione delle funzioni o dei segnali come sovrapposizione di onde fondamentali. Indaga e generalizza la nozione di serie di Fourier e trasformata di Fourier. Le onde fondamentali sono chiamate "armoniche", da cui il nome "analisi armonica". Nei precedenti due secoli è diventato un tema molto vasto con applicazioni in diverse aree come elaborazione numerica dei segnali, meccanica quantistica e neuroscienze.

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Analisi complessa

L'analisi complessa (più precisamente, la teoria delle funzioni di variabili complesse) è quella branca dell'analisi matematica che applica le nozioni di calcolo infinitesimale alle funzioni complesse, cioè alle funzioni definite che hanno per dominio e codominio insiemi di numeri complessi.
Protagonista dell'analisi complessa è la funzione olomorfa: una funzione complessa per cui è definita una nozione di derivata, in modo identico a quanto fatto per le usuali funzioni reali. Una estensione di questo concetto è la funzione meromorfa.
L'analisi complessa è estremamente utile in numerose branche della matematica, come ad esempio la Teoria dei numeri e la geometria algebrica; ha notevoli applicazioni anche in fisica e in ingegneria.

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GEOMETRIA

La geometria, dal greco antico (geo che rimanda alla parola "terra" e metria = "misura" quindi: "misurazione della terra") è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni.
La geometria coincide fino all'inizio del XIX secolo con la geometria euclidea. Questa definisce come concetti primitivi il punto, la retta e il piano, e assume la veridicità di alcuni assiomi, gli Assiomi di Euclide. Da questi assiomi vengono quindi dedotti dei teoremi anche complessi, come il Teorema di Pitagora ed i teoremi della geometria proiettiva.

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Geometria-Euclidea

La geometria euclidea è la geometria che si basa sui cinque postulati di Euclide e in particolar modo sul postulato delle parallele. Gli elementi fondamentali della geometria euclidea sono il punto, la retta, ed il piano.
Di seguito si riportano i postulati di Euclide:
1.Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una retta.
2.La linea retta si può prolungare indefinitamente.
3.Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.
4.Tutti gli angoli retti sono uguali.
5.Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due retti.

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Geometria-Non-euclidee

Le geometrie che si basano su postulati diversi da quelli elencati da Euclide sono dette geometrie non euclidee.
Sulla violazione di questi postulati, e soprattutto sull'ultimo, si fondano le geometrie non-euclidee come ad esempio la geometria iperbolica.

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Geometria-Piana

Per geometria piana si intende quel ramo della geometria euclidea orientato, appunto, al piano.
I concetti fondamentali definiti nel piano sono il punto e la retta. A partire da questi due concetti se ne definiscono altri, come il segmento, la semiretta o l'angolo. Tutti questi concetti hanno trovato una formalizzazione assiomatica negli Elementi di Euclide e sono alla base della geometria euclidea.
Tramite la geometria analitica, è possibile "dare un nome" a ciascuno di questi enti ed usare gli strumenti dell'algebra e dell'analisi, nonostante ciò
molti enti e teoremi della geometria piana sono trattabili senza l'ausilio di coordinate. Tra questi, i concetti di triangolo e poligono, e le relazioni di parallelismo e ortogonalità fra rette o segmenti. Anche le sezioni coniche come la circonferenza o la parabola sono trattabili (con qualche difficoltà) senza coordinate, ma queste iniziano a diventare importanti nello studio di curve più complicate.

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Geometria-Solida

Viene chiamata geometria solida quella branca della geometria che si interessa dei solidi, ovvero delle figure geometriche formate da punti compresi in uno spazio tridimensionale.
In tale spazio, che è detto volumetrico ed è caratterizzato da tre diverse dimensioni, si possono considerare tre assi tra loro perpendicolari: l'asse x , l'asse y e l'asse z ; è proprio la presenza di tre assi che lo differenzia dallo spazio planare(piano), provvisto di sole due dimensioni. Il punto in cui i suddetti tre assi si incrociano è chiamato origine, e viene indicato con una O maiuscola. Dei tre assi, l' x è la larghezza, l' y l'altezza e lo z la profondità.

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Geometria-Descrittiva

La geometria descrittiva è la scienza che permette, attraverso determinate costruzioni geometriche, di rappresentare in modo inequivocabile su uno o più piani, oggetti bidimensionali e tridimensionali.
La rappresentazione può essere finalizzata a visualizzare oggetti già esistenti, come nel rilievo (per lo più architettonico), e/o di oggetti mentalmente concepiti, come nella progettazione di manufatti tridimensionali.
I metodi di rappresentazione (di prospettiva, di assonometria e di Monge) della geometria descrittiva si basano principalmente su due operazioni fondamentali, dette operazioni di proiezione e sezione.
Gli assiomi della geometria descrittiva elementare sono sostanzialmente i postulati di Euclide, ma modificati dall'aggiunta della nozione di ente improprio (direzione, giacitura), secondo una costruzione analoga a quella della geometria proiettiva.

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Geometria-Proiettiva

La geometria proiettiva è la parte della geometria che modellizza i concetti intuitivi di prospettiva e orizzonte. Definisce e studia gli enti geometrici usuali (punti, rette, ...) senza utilizzare misure o confronto di lunghezze.
Lo geometria proiettiva è la geometria "vista da un occhio".
La geometria proiettiva può essere pensata informalmente come la geometria che nasce dal collocare il proprio occhio in un punto dello spazio, così che ogni linea che intersechi l'"occhio" appaia solo come un punto. Le grandezze degli oggetti non sono direttamente quantificabili (perché guardando il mondo con un occhio soltanto non abbiamo informazioni sulla profondità) e l'orizzonte è considerato parte integrante dello spazio. Come conseguenza, nella geometria piana proiettiva due rette si intersecano sempre (ma non sono mai parallele).

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Geometria-Affine

In matematica, la geometria affine è la geometria che studia gli spazi affini. Tratta essenzialmente quegli argomenti della geometria euclidea che possono essere sviluppati senza l'uso dei concetti di angolo e distanza. Occupa un posto intermedio fra la geometria euclidea e la geometria proiettiva; in quest'ultimo caso anche la nozione di parallelismo perde di significato. Il suo studio fa largo uso dell'algebra lineare.

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Geometria-Sferica

La geometria sferica è una geometria non euclidea ideata dal matematico Bernhard Riemann. La geometria sferica possiede una immediata interpretazione nella geometria euclidea. Infatti il suo modello si presenta come "descritto" dalla geometria della superficie di una sfera. Ha applicazioni pratiche nella navigazione e nell'astronomia.

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Geometria-Iperbolica

La geometria iperbolica, anche chiamata geometria della sella o geometria di Lobachevskij, è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele con il cosiddetto postulato iperbolico.

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Geometria-Algebrica

La geometria algebrica è un campo della matematica, che, come il nome stesso suggerisce, unisce l'algebra astratta (soprattutto l'algebra commutativa) alla geometria. Oggetto principale di studio della geometria algebrica sono le varietà algebriche, oggetti geometrici definiti come soluzioni di equazioni algebriche.
In geometria algebrica gli oggetti geometrici studiati sono definiti come zeri di un certo numero di polinomi: si tratta dell'insieme degli zeri in comune o equivalentemente delle soluzioni di una o più equazioni polinomiali.

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Geometria-Frattale

Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento. Questa caratteristica è spesso chiamata auto similarità. Il termine frattale deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.
I frattali compaiono spesso nello studio dei sistemi dinamici e nella teoria del caos e sono spesso descritti in modo ricorsivo da equazioni molto semplici, scritte con l'ausilio dei numeri complessi.

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Geometria-Analitica

La geometria analitica, chiamata anche geometria cartesiana, è lo studio della geometria attraverso il sistema di coordinate oggi dette cartesiane.
Ogni punto del piano cartesiano o dello spazio è determinato dalle sue coordinate su due piani: ascisse (x) e ordinate (y), che determinano un vettore rispettivamente del tipo (x,y) oppure (x,y,z).
Gli enti geometrici come rette, curve, poligoni sono definiti tramite equazioni, disequazioni o insiemi di queste, detti sistemi.
Le proprietà di questi oggetti, come le condizioni di incidenza, parallelismo e perpendicolarità, vengono anch'esse tradotte in equazioni e quindi studiate con gli strumenti dell'algebra e dell'analisi matematica.

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Geometria-Differenziale

In matematica, la geometria differenziale è lo studio di oggetti geometrici come curve, superfici e più in generale varietà differenziabili, tramite l'analisi matematica.
Tramite il calcolo infinitesimale e la nozione di derivata, è quindi possibile introdurre e studiare nozioni di fondamentale importanza, quali quelle di campo vettoriale, forma differenziale, geodetica, curvatura.
L'applicazione più spettacolare della geometria differenziale è la formulazione della relatività generale, a cui fornisce gli strumenti per modellare lo spaziotempo.

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Geometria-Topologia

La topologia o studio dei luoghi, è una delle più importanti branche della matematica moderna. Si caratterizza come lo studio delle proprietà delle figure e delle forme che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature".
Per esempio un cubo e una sfera sono oggetti topologicamente equivalenti (cioè omeomorfi), perché possono essere deformati l'uno nell'altro senza ricorrere a nessuna incollatura, strappo o sovrapposizione; una sfera e un toro invece non lo sono, perché il toro contiene un "buco" che non può essere eliminato da una deformazione.

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STATISTICA E PROBABILITÀ

La statistica è una disciplina che ha come fine lo studio quantitativo e qualitativo di un particolare fenomeno in condizioni di non determinismo o incertezza ovvero di non completa conoscenza di esso o parte di esso. Studia i modi (descritti attraverso formule matematiche) in cui una realtà fenomenica - limitatamente ai fenomeni collettivi - può essere sintetizzata e quindi compresa. La statistica studia come raccogliere i dati e come analizzarli per ottenere l'informazione che permetta di rispondere alle domande che ci poniamo. Si tratta di avanzare nella conoscenza partendo dall'osservazione e dall'analisi della realtà in modo intelligente e obiettivo.

Sul concetto di probabilità, si basa una branca della statistica (la statistica inferenziale), cui fanno ricorso numerose scienze sia naturali che sociali.
In probabilità si considera un fenomeno osservabile esclusivamente dal punto di vista della possibilità o meno del suo verificarsi, prescindendo dalla sua natura. Tra due estremi, detti evento certo (ad esempio: lanciando un dado si ottiene un numero compreso tra 1 e 6) ed evento impossibile (ottenere 1 come somma dal lancio di due dadi), si collocano eventi più o meno probabili (aleatori).
Secondo la definizione classica, la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all'evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili.

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Geostatistica

La geostatistica è quella branca della statistica che si occupa dell'analisi di dati geografici. Il suo campo classico di applicazione sono le Scienze della Terra, in particolar modo nella Geografia, Geologia, Geologia Ambientale, Ecologia, Meteorologia, Agronomia.
La geostatistica si occupa di valutare l'autocorrelazione spaziale dei dati, cercando di verificare se osservazioni effettuate su punti vicini presentano effettivamente una minore variabilità rispetto ad osservazioni effettuate tra punti distanti. L'obiettivo è quindi valutare l'effetto della posizione del punto di misura sulla variabilità del dato osservato. tale variabilità viene di solito elaborata con lo strumento del semivariogramma che valuta la variazione del grado di variabilità di punti a distanze crescenti.
Oltre a valutare la variabilità spaziale la geostatistica offre delle tecniche di interpolazione spaziale che possono fornire delle stime sul valore assunto da una variabile in una posizione in cui la misurazione non è stata effettuata in base a dei dati rilevati su punti vicini.

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Statistica non parametrica

Nella statistica non parametrica i modelli matematici non necessitano di ipotesi a priori sulle caratteristiche della popolazione (ovvero, di un Parametro), o comunque le ipotesi sono meno restrittive di quelle usuali nella statistica parametrica.
In particolare non si assume l'ipotesi che i dati provengano da una popolazione normale o gaussiana.
Viene considerata da alcuni la statistica dei piccoli campioni in quanto è soprattutto in questi casi che l'ipotesi di distribuzione gaussiana è fatta spesso in modo arbitrario. Ma questa definizione può essere fuorviante in quanto la non parametrica viene applicata anche in presenza di campioni relativamente grandi. Effettivamente, in presenza di grandi campioni, diverse distribuzioni tendono alla variabile casuale gaussiana permettendo così di passare alla statistica parametrica.

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Statistica multivariata

Con statistica multivariata s'intende quella parte della statistica in cui l'oggetto dell'analisi è per sua natura formato da almeno due componenti, il che è spesso il caso nell'ambito di scienze quali la medicina, psicologia, sociologia, ecologia, biologia ed ingegneria.
Fanno parte della statistica multivariata metodi quali:
analisi della correlazione canonica e analisi delle componenti principali.
analisi fattoriale
analisi delle corrispondenze
analisi dei cluster
analisi discriminante
analisi di regressione multidimensionale.

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Legge dei grandi numeri

La legge dei grandi numeri, detta anche legge empirica del caso oppure teorema di Bernoulli, descrive il comportamento della media di una sequenza di n variabili casuali indipendenti e caratterizzate dalla stessa distribuzione di probabilità (n misure della stessa grandezza, n lanci della stessa moneta ecc.) al tendere ad infinito della numerosità della sequenza stessa (n). In altre parole, grazie alla legge dei grandi numeri, possiamo fidarci che la media che calcoliamo a partire da un numero sufficiente di campioni sia sufficientemente vicina alla media vera.
In termini generici, per la legge dei grandi numeri si può dire:
che la media della sequenza è una approssimazione, che migliora al crescere di n, della media della distribuzione;
e che, viceversa, si può prevedere che sequenze siffatte mostreranno una media tanto più spesso e tanto più precisamente prossima alla media della distribuzione quanto più grande sarà n.
Un caso particolare di applicazione della legge dei grandi numeri è la previsione probabilistica della proporzione di successi in una sequenza di n realizzazioni indipendenti di un evento E: per n che tende a infinito, la proporzione di successi converge alla probabilità di E.

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FISICA MATEMATICA

La fisica matematica è quella disciplina scientifica che si occupa delle "applicazioni della matematica ai problemi della fisica e dello sviluppo di metodi matematici adatti alla formulazione di teorie fisiche ed alle relative applicazioni.
La storia della fisica matematica può essere tracciata fino alle origini del metodo scientifico, quando Galileo affermava che "il mondo naturale va descritto con il suo linguaggio, e questo linguaggio è la matematica".
Oggi la fisica matematica si concentra soprattutto sullo sviluppo "di base" della fisica, dove con "di base" si intende lo sviluppo da un punto di vista più generale possibile.

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Meccanica classica

Con la locuzione meccanica classica si intende generalmente, in fisica e in matematica, l'insieme delle teorie meccaniche con i loro relativi formalismi.
La meccanica classica descrive in modo sostanzialmente accurato gran parte dei fenomeni meccanici osservabili direttamente nella nostra vita quotidiana. La meccanica classica è applicabile ai corpi continui, a velocità basse (cioè molto inferiori alla velocità della luce) e per dimensioni molto superiori a quelle atomiche o molecolari. Dove non sono valide queste ipotesi è necessario applicare una delle teorie meccaniche più recenti.
Spesso si individuano all'interno della meccanica classica due teorie ben distinguibili: la meccanica newtoniana (o semplicemente meccanica), formulata per la prima volta da Newton nel celebre testo Philosophiae Naturalis Principia Mathematica pubblicato nel 1687 (ora noto come Principia) e la meccanica analitica (talvolta detta meccanica razionale) sviluppata da Lagrange, Hamilton, Liouville, Jacobi e altri fra la seconda metà del Settecento e la fine dell'Ottocento. Talvolta con meccanica classica si indica, specie nella letteratura anglofona, una sola delle due teorie. È bene osservare che le due teorie, pur partendo da princìpi diversi (i postulati di Newton nel primo caso; il principio di minima azione nel secondo) ed utilizzando metodi matematici sostanzialmente differenti (semplice calcolo nel primo, calcolo delle variazioni ed elementi di analisi matematica superiore nel secondo), arrivano sostanzialmente a risultati equivalenti dal punto di vista sperimentale. Le due principali formulazioni della meccanica classica, cioè la meccanica Newtoniana e la meccanica razionale, partono da diversi principi, tra di loro equivalenti: infatti, dati per esempio i principi di Newton si può dimostrare il principio di azione stazionaria, e viceversa.

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Meccanica quantistica

La meccanica quantistica è una teoria fisica che si è sviluppata e consolidata nella prima metà del XX secolo dando vita alla fisica moderna.
Nata per supplire all'inadeguatezza della fisica classica nello spiegare fenomeni e proprietà quali la radiazione di corpo nero, l'effetto fotoelettrico, il calore specifico dei solidi, gli spettri atomici, la stabilità degli atomi, l'effetto Compton.
La meccanica quantistica si distingue in maniera radicale dalla meccanica classica in quanto si limita a esprimere la probabilità di ottenere un dato risultato a partire da una certa misurazione, rinunciando così al determinismo assoluto proprio della fisica precedente. Questa condizione di incertezza o indeterminazione non è dovuta a una conoscenza incompleta, da parte dello sperimentatore, dello stato in cui si trova il sistema fisico osservato, ma è da considerarsi una caratteristica intrinseca, quindi ultima e ineliminabile, del sistema e del mondo subatomico in generale.
La teoria quantistica, dunque, descrive i sistemi come una sovrapposizione di stati diversi e prevede che il risultato di una misurazione non sia completamente arbitrario, ma sia incluso in un insieme di possibili valori: ciascuno di detti valori è abbinato a uno di tali stati ed è associato a una certa probabilità di presentarsi come risultato della misurazione.
La meccanica quantistica rappresenta il denominatore comune di tutta la fisica moderna ovvero della fisica atomica, della fisica nucleare e sub-nucleare (la fisica delle particelle), e della fisica teorica, a testimonianza della sua estrema potenza concettuale-interpretativa nonché della vasta applicabilità al mondo microscopico.

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Calcolo tensoriale

Il calcolo tensoriale è quella parte dell'analisi che manipola i tensori.
E' stato utilizzato da Albert Einstein per elaborare la sua teoria della relatività generale. Rispetto al calcolo infinitesimale, il calcolo tensoriale permette di presentare le equazioni fisiche in forma indipendente dalla scelta del sistema di coordinate, e per questo il mezzo possibile per esprimere i fenomeni in forma oggettiva, e per spiegare le leggi della fisica come combinazioni di leggi ancor più profonde, quelle dello spazio-tempo.

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Relatività

In fisica, con il termine relatività si fa riferimento genericamente alle trasformazioni matematiche che devono essere applicate alle descrizioni dei fenomeni nel passaggio tra due sistemi di riferimento in moto relativo. L'espressione teoria della relatività è usata per riferirsi alla teoria della relatività speciale e generale che Einstein ha elaborato tra il 1905 e il 1913.
Con l'avvento delle equazioni di Maxwell, delle trasformazioni di Lorentz e infine della teoria della relatività di Einstein viene meno il concetto, fino ad allora dato per scontato, di tempo assoluto.
Il tempo e lo spazio sono legati insieme a formare quello che viene chiamato spaziotempo. La relatività generale postula invece l'uguaglianza della massa gravitazionale e della massa inerziale, e ricava la metrica generale dello spaziotempo.

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Sistema dinamico

Nella fisica matematica contemporanea il concetto di sistema dinamico nasce dall'esigenza di costruire un modello matematico generale in grado di descrivere l'evoluzione nel tempo di tutti i sistemi (fisici e non) secondo opportune leggi che legano lo stato presente a quello futuro. Il concetto di 'stato' è difficilmente definibile in senso generale a causa dell'enorme varietà di forme che esso può assumere: in generale esso può essere definito come l'insieme dei valori delle grandezze fisiche di un sistema, prese opportunamente come riferimento ovvero caratteristiche del sistema stesso, che ne definiscono la sua 'condizione' in un qualsiasi istante temporale; in altri termini si tratta di una descrizione sufficientemente esauriente del sistema al tempo t.

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MATEMATICA APPLICATA

La Matematica Applicata è un ramo della matematica che si occupa dello studio delle tecniche matematiche usate nell'applicare le conoscenze matematiche ad altri campi.
Non c'è un chiaro consenso su quali siano i vari rami della matematica applicata. Tali categorizzazioni sono rese difficili dal modo in cui la matematica e la scienza si evolvono
nel tempo, e anche dal modo in cui le università organizzano dipartimenti, corsi e lauree.
Storicamente, la matematica applicata consisteva principalmente nell'analisi matematica, soprattutto nelle equazioni differenziali, nella teoria dell'approssimazione
e nella teoria della probabilità applicata.
Oggi, queste restrizioni sono ampiamente superate. Pur restando vero che alcune branche della matematica hanno un immediato e quasi esclusivo
interesse applicativo (fisica matematica, analisi numerica, statistica matematica, programmazione matematica, ...), anche ricerche un tempo considerate assolutamente pure
vengono sempre più spesso applicate alla soluzione di problemi concreti. Tra gli esempi più noti vi sono l'uso della logica matematica nei linguaggi di programmazione e della
teoria dei numeri in crittografia.

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Matematica attuariale

La Matematica Attuariale rappresenta quel ramo della matematica che considera le operazioni attinenti a fatti che o non sono certi nel loro verificarsi o dei quali è incerto il momento del verificarsi. Studia questi "fatti probabili" e ne misura intensità e frequenza sulla base di risultanze statistiche, traendone formule e metodi per lo sviluppo della teoria e della tecnica delle assicurazioni.

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Matematica finanziaria

La matematica finanziaria è quella parte della matematica che viene applicata allo studio dei problemi concernenti la finanza.
La matematica finanziaria è quella branca della matematica applicata che si occupa di operazioni economico-finanziarie.
Per operazioni economico-finanziarie si intendono tutte le operazioni economiche che hanno per oggetto l'impiego di uno o più capitali monetari o riconducibili ad una valutazione monetaria.

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Ricerca operativa

La ricerca operativa (nota anche come teoria delle decisioni, scienza della gestione e indicata con le sigle "RO") fornisce strumenti matematici di supporto alle attività decisionali in cui occorre gestire e coordinare attività e risorse limitate al fine di massimizzare o minimizzare una funzione obiettivo.
La ricerca operativa si occupa di formalizzare un problema in un modello matematico e calcolare una soluzione (ottima, quando possibile o approssimata) per esso.
La ricerca operativa riveste un ruolo importante nelle attività decisionali perché permette di operare le scelte migliori per raggiungere un determinato obiettivo rispettando vincoli che sono imposti dall'esterno e non sono sotto il controllo di chi deve compiere le decisioni.
La ricerca operativa ha molte applicazioni commerciali soprattutto negli ambiti economico, infrastrutturale, logistico, militare, della progettazione di servizi e di sistemi di trasporto e nelle tecnologie. Nel caso particolare di problemi di carattere economico, la funzione da massimizzare può coincidere con il massimo profitto ottenibile o con il minor costo da sostenere.

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Econometria

L'econometria può essere definita una branca della statistica che si occupa dell'analisi dei fenomeni economici; in alternativa, può considerarsi un settore dell'economia dedicato alla verifica empirica di modelli formulati in ambito teorico.
Un'analisi econometrica è, nella più immediata delle definizioni, un confronto tra un modello economico e l'evidenza empirica.
Un modello economico rappresenta un'affermazione sulla relazione tra diverse variabili (economiche). Un noto esempio, solitamente utilizzato per illustrare il metodo dell'econometria, è quello della funzione dei consumi.

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Teoria dei giochi

La teoria dei giochi è la scienza matematica che analizza situazioni di conflitto e ne ricerca soluzioni competitive e cooperative tramite modelli, ovvero uno studio delle decisioni individuali in situazioni in cui vi sono interazioni tra due o più soggetti, tali per cui le decisioni di un soggetto possono influire sui risultati conseguibili da parte di un rivale secondo un meccanismo di retroazione, e sono finalizzate al massimo guadagno del soggetto.
Nel modello della "Teoria dei Giochi", la premessa indispensabile è che tutti devono essere a conoscenza delle regole del gioco, ed essere consapevoli delle conseguenze di ogni singola mossa. La mossa, o l'insieme delle mosse, che un individuo intende fare viene chiamata "strategia". In dipendenza dalle strategie adottate da tutti i giocatori (o agenti), ognuno riceve un "pay-off" (che in inglese significa compenso, vincita, pagamento, ma anche esito) secondo un'adeguata unità di misura, che può essere positivo, negativo o nullo. Un gioco si dice "a somma costante" se per ogni vincita di un giocatore v’è una corrispondente perdita per altri. In particolare, un gioco "a somma zero" fra due giocatori rappresenta la situazione in cui il pagamento viene corrisposto da un giocatore all'altro. La strategia da seguire è strettamente determinata, se ne esiste una che è soddisfacente per tutti i giocatori; altrimenti è necessario calcolare e rendere massima la speranza matematica del giocatore, che si ottiene sommando tutti i possibili compensi (sia positivi sia negativi) moltiplicati (pesati) per le rispettive probabilità.

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Teoria dei circuiti

La teoria dei circuiti, o teoria delle reti, dal punto di vista dell'ingegneria elettrica, ingegneria meccanica, ingegneria termotecnica è la disciplina che si occupa della caratterizzazione sistematica dei circuiti (anche i circuiti genericamente definiti come elettronici) tramite la creazione di modelli matematici. Dal punto di vista della matematica invece è lo studio assiomatico dei circuiti a parametri concentrati.
Le principali applicazioni della teoria dei circuiti comprendono lo studio delle proprietà generali dei circuiti e l'analisi dei circuiti, cioè lo studio e la realizzazione di metodi ed algoritmi per la simulazione degli stessi e la sintesi circuitale che consiste nello studio di metodi rigorosi per la progettazione di circuiti che realizzino funzioni richieste.
Essa si differenzia dai metodi tradizionali dell'elettrotecnica, dell'elettronica, dell'idraulica, della termotecnica per l'approccio rigorosamente matematico (similmente a come la meccanica razionale si occupa di meccanica).

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Analisi numerica

L'obiettivo dell'analisi numerica è di sviluppare metodi per la risoluzione "pratica" di problemi matematici nel continuo (cioè relativi ai numeri reali o ai numeri complessi) tramite algoritmi che
1.siano stabili, nel senso che non amplifichino gli errori inevitabilmente presenti sui dati di partenza
2.siano efficienti, ossia abbiano basso costo computazionale, nel senso che la soluzione possa essere fornita da un calcolatore in un tempo accettabile.
Si noti che la soluzione calcolata dall'algoritmo (detta anche soluzione numerica) è sempre un'approssimazione di quella esatta: un algoritmo non ha ovviamente interesse se la soluzione calcolata si discosta molto da quella esatta.
La maggior parte delle soluzioni a problemi di analisi numerica sono fondate sull'algebra lineare o sulla costruzione di successioni convergenti di numeri o funzioni. Non vanno peraltro trascurati i contributi della combinatorica e della geometria, come pure i collegamenti con i metodi probabilistici e fisico matematici.

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TEORIA DEI NUMERI

La teoria dei numeri è quel ramo della matematica pura che si occupa delle proprietà dei numeri interi e contiene molti problemi aperti che possono essere facilmente compresi anche da chi non è un matematico. Più in generale, la materia è giunta ad occuparsi di una più ampia classe di problemi che sono sorti naturalmente dallo studio degli interi. La teoria dei numeri può essere divisa in diversi campi a seconda dei metodi utilizzati e dei problemi studiati.
Nella teoria dei numeri elementare, gli interi sono studiati senza l'uso di tecniche provenienti da altri settori della matematica. Rientrano in questa parte le questioni di divisibilità, l'algoritmo di Euclide per calcolare il massimo comune divisore, la fattorizzazione di interi in numeri primi, lo studio dei numeri perfetti e le congruenze. Tipiche asserzioni sono il piccolo teorema di Fermat e il teorema di Eulero (che è una sua generalizzazione), il teorema cinese del resto e la legge di reciprocità quadratica. Vengono indagate le proprietà delle funzioni moltiplicative come la funzione di Möbius e la funzione φ di Eulero; come pure le successioni di interi come i fattoriali e i numeri di Fibonacci.
Molti problemi della teoria dei numeri elementare sono eccezionalmente profondi e (allo stato attuale) richiedono nuove idee.

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teoria dei numeri-Algebrica

La teoria algebrica dei numeri è una branca della teoria dei numeri che studia le proprietà dei numeri interi con strumenti algebrici.

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teoria dei numeri-Analitica

La teoria analitica dei numeri è una branca della teoria dei numeri che usa metodi dell'analisi matematica. Il suo primo grande successo, dovuto a Dirichlet, fu l'applicazione dell'analisi per dimostrare l'esistenza di infiniti numeri primi in una qualsiasi progressione aritmetica. La dimostrazione del teorema dei numeri primi basato sulla funzione zeta di Riemann è un'altra pietra miliare.
Oltre a Dirichlet, i principali matematici che hanno contribuito allo sviluppo della teoria analitica dei numeri sono stati
Eulero, con la dimostrazione della divergenza della serie dei reciproci dei primi
Riemann, con l'introduzione della funzione zeta
Vinogradov, con la parziale dimostrazione della congettura debole di Goldbach
Hardy e Littlewood, con il metodo del cerchio.

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teoria dei numeri-Equazione diofantea

In matematica, un'equazione diofantea (chiamata anche equazione diofantina) è un'equazione in una o più incognite con coefficienti interi di cui si ricercano le soluzioni intere. L'aggettivo diofanteo si riferisce al matematico greco del III secolo Diofanto di Alessandria, che studiò equazioni di questo tipo e fu uno dei primi matematici a introdurre il simbolismo nell'algebra.

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teoria dei numeri-Numero primo

Quello di numero primo è uno dei concetti basilari della teoria dei numeri, la parte della matematica che studia i numeri interi: alla base di questa importanza vi è la possibilità di costruire con essi, attraverso la moltiplicazione, tutti gli altri numeri interi, nonché l'unicità di tale fattorizzazione. I primi sono inoltre infiniti e la loro distribuzione è stata oggetto di molte ricerche.
In matematica, un numero primo (in breve anche primo) è un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per sé stesso; al contrario, un numero maggiore di 1 che abbia più di due divisori è detto composto. Ad esempio, 2, 3 e 5 sono primi, mentre 4 e 6 non lo sono perché sono divisibili rispettivamente anche per 2 e per 2 e 3. L'unico numero pari primo è 2, in quanto tutti gli altri numeri pari sono divisibili per 2.
La successione dei numeri primi inizia con 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 ...

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LOGICA MATEMATICA

La logica matematica è il settore della matematica che studia i sistemi formali dal punto di vista del modo di codificare i concetti intuitivi della dimostrazione e di computazione come parte dei fondamenti della matematica.
Sebbene molti siano indotti a pensare che la logica matematica sia la matematica della logica, è più giustificato affermare che essa è la logica applicata alla matematica. Essa si occupa delle parti della logica che possono essere modellate matematicamente.

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Teoria dei modelli

La teoria dei modelli è una branca della matematica, e più precisamente della logica, che affronta lo studio generalizzato del concetto di struttura, in riferimento alle relazioni tra varie strutture ed in particolare alla soddisfacibilità di date teorie.
In teoria dei modelli, per linguaggio (o talvolta vocabolario, o segnatura) si intende l'insieme di simboli tramite i quali una teoria è definita, o che una struttura interpreta. Teorie e linguaggi aventi linguaggio τ si dicono spesso rispettivamente τ-teorie e τ-linguaggi.
Tipicamente (nel caso di teorie e modelli del primo ordine), un linguaggio è costituito da:
-simboli di relazione
-simboli di funzione
-costanti.

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Teoria della ricorsione

La teoria della ricorsione, della computabilità, e della calcolabilità cerca di comprendere quali funzioni possono essere calcolate tramite un procedimento automatico. In altre parole, essa cerca di determinare se una data funzione è teoricamente calcolabile, a prescindere dal fatto che sia anche trattabile (cioè a prescindere dalla quantità di risorse che la sua esecuzione richiede in termini di tempo o di memoria, e che a livello pratico potrebbero essere proibitive).
Di conseguenza, l'obiettivo principale è dare una definizione formale, e matematicamente rigorosa, dell'idea intuitiva di funzione calcolabile. Da una parte l'approccio è quello di approfondire il concetto di calcolabilità, cercando di individuare le categorie di problemi che sono teoricamente risolvibili, e dall'altra mappare questo concetto su ciò che è teoricamente calcolabile sui computer, anche in questo caso senza contare le limitazioni imposte dai costi, dal tempo, dalla quantità di memoria impiegata.
Un altro importante aspetto è quello di definire matematicamente il concetto di algoritmo, in modo che i programmi possano essere concretamente pensati in termini di oggetti matematici (più precisamente, come funzioni che restituiscono un determinato risultato a partire da un certo input).

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Teoria degli insiemi

La teoria degli insiemi svolge un ruolo importante per i fondamenti della matematica e si colloca nell'ambito della logica matematica. Prima della metà del sec. XIX la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico.
Poi si sono assestati due sistemi di assiomi chiamati rispettivamente sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel e sistema assiomatico di Von Neumann-Bernays-Gödel.
Successivamente si sono affrontate le tematiche riguardanti il problema della completezza dei sistemi di assiomi (v. teorema di incompletezza di Gödel), i rapporti con la teoria della calcolabilità (v.a. macchina di Turing) e la compatibilità dei sistemi di assiomi con l'assioma della scelta e con assiomi equivalenti o simili.

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Linguaggio formale

In matematica, logica, informatica e linguistica, per linguaggio formale si intende un insieme di stringhe di lunghezza finita costruite sopra un alfabeto finito, cioè sopra un insieme finito di oggetti tendenzialmente semplici che vengono chiamati caratteri, simboli o lettere.
In generale diremo che un modello formale che può riconoscere e generare tutte e sole le stringhe di un linguaggio formale agisce come una definizione di tale linguaggio. Secondo i due principali approcci alla definizione dei linguaggi formali, un modello si può concretizzare in una grammatica formale (approccio generativo) o in un automa (approccio riconoscitivo).

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STORIA DELLA MATEMATICA

L'area di studio nota come storia della matematica riguarda le indagini sull'origine e l'evoluzione delle scoperte matematiche e sui metodi e le notazioni matematiche del passato.
La parola "matematica" deriva dalla parola greca μάθημα (màthema) che significa "conoscenza o apprendimento"; μαθηματικός (mathematikós) significava invece "appassionato del conoscere". Oggi il termine si riferisce ad un corpo di conoscenze tendenzialmente ben definito che riguarda lo studio dei problemi concernenti quantità, forme spaziali, processi evolutivi e strutture formali, studio che si basa su definizioni precise e di procedimenti deduttivi rigorosi.
L'attività svolta dai matematici moderni è molto diversa da quella dei primi matematici delle civiltà antiche. Inizialmente la matematica si basò sul concetto di numero, concetto sviluppatosi nella preistoria. La matematica è stata una tra le prime discipline a svilupparsi. Evidenze archeologiche mostrano la conoscenza rudimentale di alcune nozioni matematiche molto prima dell'invenzione della scrittura.