La matematica si interessa di modelli simbolici di problemi reali;
ed è attraverso la "simulazione"
della situazione reale che è possibile individuare più facilmente la soluzione.
Naturalmente, non tutti i problemi sono dello stesso tipo: per alcuni è possibile individuare,
dai dati, le soluzioni in modo univoco,
per altri è invece possibile stabilire soltanto con quali probabilità potranno verificarsi situazioni diverse.
Ciò non dipende dalla nostra capacità di soluzione, ma dalle caratteristiche della situazione reale che stiamo esaminando.
Nel primo caso è possibile costruire un modello deterministico della situazione:
un modello cioè in cui dai valori iniziali dei dati è possibile ricavare
i valori di grandezze incognite.
Nel secondo caso, invece, costruiamo un
modello probabilistico, in cui è possibile soltanto ricavare dai dati le probabilità che
alcune grandezze incognite assumano determinati valori.
Cercheremo di capire le possibilità di rappresentazione dei dati,
le loro relazioni e le procedure di soluzione di un problema;
la scelta tra un modello deterministico e un modello probabilistico
per rappresentare la situazione problematica che si vuole risolvere.
Un modello di un problema deve essere:
• più semplice del problema,
• affidabile, cioè tale che a ogni dato del problema corrisponda un
proprio simbolo e a ogni relazione tra dati corrisponda una relazio ne tra i corrispondenti simboli,
• non contraddittorio,
• generalizzabile ad altri problemi dello stesso tipo.
Proprio questa sequenza di azioni permette, sulla base dei dati conosciuti, di individuare valori di grandezze non note o di effettuare scelte o, comunque, di giungere a formulare conclusioni.
In questa lezione esaminiamo come rappresentare le informazioni per costruire un modello matematico
di un problema, cioè una rappresentazione grafica o simbolica che simuli il problema stesso.
effettivamente calcolabile, per la quale esiste un AUTOMA ESECUTORE in grado di eseguirla in un tempo finito.
Un algoritmo risolve una classe di problemi equivalenti, problemi la cui procedura di soluzione è la stessa. Una volta introdotti i dati relativi allo specifico problema, l'algoritmo opera su di essi e restituisce un risultato:
DATI IN INGRESSO --> ALGORITMO --> RISULTATO
Di particolare interesse sono gli algoritmi che utilizzano procedure ricorsive, procedure cioè che richiamano se stesse; con tali procedure si possono costruire, tra l'altro, speciali oggetti matematici: I FRATTALI.
I valori di sintesi che forniscono le indagini statistiche sono utilissimi per la comprensione dei diversi fenomeni, anche se fanno perdere identità al singolo elemento.
Ad esempio, il valore medio di una distribuzione è certamente un indicatore importante per avere un'idea della tendenza di un fenomeno; questo stesso indicatore però può "fuorviare" rispetto alla realtà delle cose.
Se i caratteri sono entrambi di tipo quantitativo, allora si può anche sostituire a una funzione statistica, cioè all'insieme delle coppie di dati osservati, una funzione matematica,
cioè una legge del tipo y = f(x),
che descriva esplicitamente il legame di dipendenza esistente tra due variabili.
Assumeremo come modello teorico di riferimento quello della funzione lineare, espressa nella forma generale y= ax + b, di cui determineremo i parametri a e b con metodi intuitivi e utilizzando il principio generale dei minimi quadrati.
Vi sono fatti dei quali possiamo prevedere con certezza il loro modo di evolversi ed altri dei quali possiamo solo ipotizzare particolari comportamenti. Il "sorgere del sole" è, ad esempio, un evento che possiamo dare per certo, mentre non possiamo con uguale certezza prevedere quale tempo ci sarà il giorno dopo.
Ad un evento non certo si può attribuire una misura di probabilità, si può cioè assegnare un numero, eventualmente espresso in forma percentuale, che indica il grado di fiducia che possiamo avere circa il suo verificarsi. In altre occasioni possiamo solo valutare "soggettivamente" i fatti che stanno per accadere.
Studieremo il calcolo della probabilità che in una serie di prove indipendenti successive si abbia un primo successo all'n-simo lancio,
ad esempio l'uscita di un particolare numero su una determinata ruota nel gioco del lotto.
Affinché i risultati derivati da queste inferenze siano validi è però necessario che:
- il campione sia rappresentativo dell'intero insieme;
- le tecniche di rilevamento siano corrette;
- i dati rilevati sul campione siano correttamente elaborati.
Gran parte dei problemi di inferenza statistica fanno riferimento a una particolare distribuzione di probabilità media con un prefissato grado di fiducia.
La distribuzione normale, detta anche curva degli errori o di Gauss, è la distribuzione "limite" alla quale tendono tutte le altre distribuzioni, quando il numero delle prove tende a diventare infinito.
