La geometria si sviluppa inizialmente come insieme di regole pratiche per la misurazione delle superfici agricole e per la rappresentazione di problemi fondamentali con figure del piano e dello spazio.
Le figure geometriche vengono concepite come oggetti astratti le cui proprietà sono dimostrate mediante un rigoroso ragionamento logico. Nel IV sec. a.C. Euclide organizza le precedenti conoscenze geometriche in un sistema completo.
La geometria euclidea è infatti costruita secondo il metodo assiomatico, ricavando le proprietà come teoremi a partire da un insieme di affermazioni elementari assunte come primitive (postulati o assiomi).
La riflessione sui postulati euclidei, che impegna i matematici di diverse epoche storiche, determina, a partire dal XVIII secolo, profonde trasformazioni concettuali del sapere geometrico.
Accanto alla geometria euclidea si affermano altri sistemi geometrici, anch'essi deduttivi e coerenti - le geometrie non euclidee - costruiti a partire da un diverso insieme di assiomi.
Nel tentativo di costruire una teoria unitaria delle geometrie, si sviluppa, a partire dalla seconda metà del XIX secolo, una particolare attenzione alle possibili trasformazioni dello spazio e alle caratteristiche che, in tali trasformazioni, mutano oppure si conservano.
LA GEOMETRIA METRICA: è lo studio delle proprietà che non variano effettuando una trasformazione isometrica
LA GEOMETRIA AFFINE: studia le proprietà che non variano effettuando una trasformazione affine
LA GEOMETRIA PROIETTIVA: è lo studio delle proprietà che non variano effettuando una trasformazione proiettiva.
In questa trattazione introdurremo il ruolo della geometria nella costruzione di alcune opere di architettura e di pittura per ricercare in esse la combinazione degli elementi compositivi e la distribuzione delle forme.
LE ISOMETRIE.
Un esempio di trasformazione isometrica è la traslazione in cui ogni punto del piano viene "spostato"
nella stessa direzione, nello stesso verso e per tratti della stessa lunghezza
Nello studio delle trasformazioni la nostra attenzione si concentrerà non tanto su ciò che si trasforma,
ma su ciò che rimane invariato; la traslazione, ad esempio, conserva tutte le misure,
sia le lunghezze dei segmenti, sia le ampiezze degli angoli.
E aiuta a risolvere questo tipo di problemi:
Come si fa a quadruplicare o ridurre ad un quarto questo rettangolo?
Vedremo come:
- COSTRUIRE una omotetia, una similitudine e poligoni simili.
- RICONOSCERE gli invarianti geometrici di una omotetia.
- CONOSCERE i teoremi di Talete, Euclide e loro applicazioni.
- APPLICARE le descrizioni analitiche di una simmetria, una traslazione, una isometria, una omotetia, una similitudine.
Amplieremo ora il concetto di trasformazione di figure e ci occuperemo delle figure affini.
Una trasformazione affine trasforma un reticolato "a quadretti" in un reticolato "a parallelogrammi".
Le figure disegnate su tali reticolati si trasformano di conseguenza e sono chiamate figure affini.
La nascita della trigonomentria è legata all'interesse che le antiche civiltà ebbero per l'astronomia.
Un problema che stimolò gli studi dei matematici greci era il seguente: calcolare la distanza dalla terra del sole o di una qualsiasi altra stella.
L'OGGETTO GEOMETRICO è rappresentato dalle trasformazioni affini, o affinità, cioè quelle trasformazioni geometriche del piano che conservano l'allineamento dei punti e il parallelismo.
L'OGGETTO ALGEBRICO è costituito dai sistemi lineari in due incognite del tipo
x' = ax + by + c
y = crx + b'y + c'
Introducendo opportune ipotesi, vedremo che un tale sistema descrive, da un punto di vista analitico, una qualunque affinità.
Gli oggetti che vediamo hanno tre dimensioni: lunghezza, larghezza, altezza.
Come per le figure piane, a due dimensioni, anche per le figure solide esiste un ambiente privilegiato per osservarne le proprietà:
È LO SPAZIO EUCLIDEO.
Costruiremo lo spazio euclideo a partire da alcune definizioni e da alcuni assiomi.
Lo spazio euclideo rappresenta un modello astratto dello spazio fisico:
lo studio delle sue proprietà permette di indagare le caratteristiche dell'ambiente concreto.
